Chapitre 3 – Géométrie des masses

Calcul du centre de masse

Soit un solide S, le centre de masse est :$\overrightarrow{\mathit{OG}}=\frac{1}{m}\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{OM}}.\mathit{dm}$

Démonstration, le centre de masse G ne dépend pas de l'origine du repère O :

$\overrightarrow{\mathit{OG}}=\frac{1}{m}\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{OM}}.\mathit{dm}=\frac{1}{m}\underset{S}{\int }(\overrightarrow{\mathit{OG}}+\overrightarrow{\mathit{GM}}).\mathit{dm}=\frac{1}{m}(\overrightarrow{\mathit{OG}}\underset{S}{\int }\mathit{dm}+\overrightarrow{\mathit{GM}}\underset{S}{\int }\mathit{dm})$

On a donc $\overrightarrow{\mathit{OG}}=\frac{m}{m}\overrightarrow{\mathit{OG}}+\frac{1}{m}\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{GM}}.\mathit{dm}$donc$\frac{1}{m}\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{GM}}.\mathit{dm}=0$

Donc le centre de masse G ne dépend pas de l'origine du repère O.

Propriétés :

Supposons un système S composé de plusieurs solides $S_i$

de masse

$m_i$

, avec

$S=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_i$

alors on a :

$\overrightarrow{\mathit{OG}}=\frac{1}{\sum m_i}\sum _{i=1}^n\underset{S_i}{\int }\overrightarrow{\mathit{OM}}.\mathit{dm}=\frac{1}{\sum m_i}\sum _{i=1}^n{m}_i.\overrightarrow{{\mathit{OG}}_i}$

Moment d'inertie : barre / disque / cercle

Soit un solide infinitésimal dS assimilé à un point M de masse dm et soit N le projeté orthogonal de M sur la droite Δ alors le moment d'inertie de M s'écrit :$I_{\Delta }=\underset{S}{\int }(\mathit{NM})\mathit{²dm}$

homogénéité : masse × distance²

Soit G le centre de masse de M et soit un repère (O,x,y,z), on a :

$\begin{array}{c}{I}_{\mathit{Gz}}=\underset{S}{\int }(\mathit{x²}+\mathit{y²})\mathit{dm}\\ I_{\mathit{Gx}}=\underset{S}{\int }(\mathit{y²}+\mathit{z²})\mathit{dm}\\ I_{\mathit{Gy}}=\underset{S}{\int }(\mathit{x²}+\mathit{z²})\mathit{dm}\end{array}$

Cas d'une barre :
Soit une barre de masse m et de longueur l, orientée selon l'axe (Ox), on a :

D'après les formules ci-dessus :$I_{\mathit{Ox}}=\int (\mathrm{0²}+\mathrm{0²})\mathit{dm}=0$

$I_{\mathit{Oy}}=I_{\mathit{Oz}}=\int \mathit{x²dm}=\frac{\mathit{ml²}}{3}$

Cas d'un cercle :

Soit un cercle de rayon R, de masse m et de centre de masse G, on a :

$\begin{array}{c}{I}_{\mathit{Gx}}=I_{\mathit{Gy}}=m\frac{\mathit{R²}}{2}\\ I_{\mathit{Gz}}=\mathit{mR²}\end{array}$

Cas d'un disque :

Soit un disque de rayon R, de masse m et de centre de masse G, on a :

$\begin{array}{c}{I}_{\mathit{Gx}}=I_{\mathit{Gy}}=m\frac{\mathit{R²}}{4}\\ I_{\mathit{Gz}}=m\frac{\mathit{R²}}{2}\end{array}$

Calcul du moment d'inertie d'un cône plein régulier

 

La tranche de cône a une épaisseur dz, un rayon variable r, un volume dV et une masse dm.

${\mathit{dI}}_{\mathit{Oz}}=\frac{\mathit{dm}\mathit{r²}}{2}$

donc$I_{\mathit{Oz}}=\underset{V}{\int }{\mathit{dI}}_{\mathit{Oz}}=\frac{\int \mathit{dm}\mathit{r²}}{2}$

de plus $\mathit{dm}=\rho \mathit{dV}=\rho \pi \mathit{r²}\mathit{dz}$

et d'après le théorème de Thalès :

$\frac{z}{h}=\frac{r}{a}\Rightarrow z=\frac{h}{a}r\Rightarrow \frac{\mathit{dz}}{\mathit{dr}}=\frac{h}{a}\Rightarrow \mathit{dz}=\frac{h}{a}\mathit{dr}$

$I\mathit{Oz}=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\rho \pi \mathit{r²}\frac{h}{a}\frac{\mathit{r²}}{2}\mathit{dr}=\frac{\rho \pi h}{\mathrm{2a}}{\left[\frac{r^5}{5}\right]}_0^a=\frac{\rho \pi h{a}^4}{10}$

Le volume du cône (homogène) est$V=\frac{1}{3}\mathit{\pi R²h}$et donc sa masse$m=\frac{1}{3}\mathit{\pi R²h.\rho }$et sa densité volumique $\rho =\frac{\mathrm{3m}}{\mathit{\pi a²h}}$, de rayon a (à la base) et de hauteur h.

Donc $I_{\mathit{Oz}}=\frac{\mathrm{3m}}{\pi \mathit{a²}h}\times \frac{\pi h{a}^4}{10}=\frac{3m\mathit{a²}}{10}$

Matrice d'inertie (matrice diagonale) à savoir justifier

Une matrice d'inertie au point O s'écrit :

$[J_O]={\left[\begin{array}{ccc}\underset{\text{S}}{\int }(y^2+z^2)\mathit{dm}& -\underset{\text{S}}{\int }xy\mathit{dm}& -\underset{\text{S}}{\int }xz\mathit{dm}\\ \mathit{symétrique}& \underset{\text{S}}{\int }(x^2+z^2)\mathit{dm}& -\underset{\text{S}}{\int }yz\mathit{dm}\\ \mathit{symétrique}& \mathit{symétrique}& \underset{\text{S}}{\int }(x^2+y^2)\mathit{dm}\end{array}\right]}^{}$

$[J_O]={\left[\begin{array}{ccc}{\text{I}}_{\text{O}x}& {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{xy}}& {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{xz}}\\ {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{yx}}& {\text{I}}_{\text{O}y}& {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{yz}}\\ {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{zx}}& {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{zy}}& {\text{I}}_{\text{O}z}\end{array}\right]}^{}$avec $I_{\mathit{Oxy}}=I_{\mathit{Oyx}}$, etc …

Matrice diagonale :

La matrice d'inertie est symétrique si il existe une base orthonormale dans laquelle est elle diagonale.
Dans ce cas le repère associé est appelé « repère principal d'inertie » et les axes sont les « axes principaux d'inertie ».

Propriété :

Si un plan est plan de symétrie de S alors es produits d'inerties faisant apparaître la normale à ce plan sont nuls.

Cas particulier important :

Si 2 plans de référence sont des plans de symétrie, alors la matrice d'inertie est diagonale.

Pour avoir un matrice diagonale il faut soit 2 plans de symétrie soit 1 problème plan + 1 plan de symétrie.

Exemple n°1 : Si Oxy est plan de symétrie$\Rightarrow I_{\mathit{Oxz}}=I_{\mathit{Oyz}}=0$

Si Oxz est plan de symétrie$\Rightarrow I_{\mathit{Oxy}}=I_{\mathit{Oyz}}=0$

La matrice d'inertie devient donc :

$[J_O]={\left[\begin{array}{ccc}{\text{I}}_{\text{O}x}& 0& 0\\ 0& {\text{I}}_{\text{O}y}& 0\\ 0& 0& {\text{I}}_{\text{O}z}\end{array}\right]}^{}$

Exemple n°2 :

Si le solide est plan dans le plan $(O,\overrightarrow{\mathit{ex}},\overrightarrow{\mathit{ey}})$(sans épaisseur selon$\overrightarrow{\mathit{ez}}$) alors :

$[J_O]={\left[\begin{array}{ccc}{\text{I}}_{\text{O}x}& {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{xy}}& 0\\ {\text{-I}}_{\text{O}\mathit{xy}}& {\text{I}}_{\text{O}y}& 0\\ 0& 0& {\text{I}}_{\text{O}z}={\text{I}}_{\text{O}x}+{\text{I}}_{\text{O}y}\end{array}\right]}^{}$

Chapitre 4 – Cinétique des solides et des systèmes

Résultante cinétique, dynamique

Torseur cinétique : $\text{{}C{\text{}}}_A=\text{{}\vec{p}(S/R),\overrightarrow{{\sigma }_A}(S/R)\text{}}$

avec :

• •la résultante cinétique $\vec{p}(S/R)=\underset{S}{\int }\overrightarrow{V_M}(S/R)\mathit{dm}$ 
• •le moment cinétique au point A$\overrightarrow{{\sigma }_A}(S/R)=\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{AM}}\wedge \overrightarrow{V_M}(S/R)\mathit{dm}$ 

Relation du transport de moment cinétique : $\overrightarrow{{\sigma }_B}(S/R)=\overrightarrow{{\sigma }_A}(S/R)+\overrightarrow{\mathit{BA}}\wedge \vec{p}(S/R)$

L'énergie cinétique est définie par :$E_C(S/R)=\frac{1}{2}\underset{S}{\int }[\overrightarrow{V_M}(S/R)]\mathrm{²}\mathit{dm}$

Torseur dynamique :$\text{{}{D}_A\text{}}=\text{{}\vec{d}(S/R),\overrightarrow{{\gamma }_A}(S/R)\text{}}$

avec :

• •la résultant dynamique $\vec{d}(S/R)=\underset{S}{\int }\overrightarrow{a_M}(S/R)\mathit{dm}$ 
• •le moment dynamique au point A $\overrightarrow{{\delta }_A}(S/R)=\underset{S}{\int }\overrightarrow{\mathit{AM}}\wedge \overrightarrow{a_M}(S/R)\mathit{dm}$ 

Relation du transport du moment dynamqie :$\overrightarrow{{\delta }_B}(S/R)=\overrightarrow{{\delta }_A}(S/R)+\overrightarrow{\mathit{BA}}\wedge \vec{d}(S/R)$

Calcul du moment dynamique par rapport au moment cinétique

Calcul des résultantes cinétique et dynamqie :

$\begin{array}{c}\vec{p}(S/R)=m\overrightarrow{V_G}(S/R)\\ \vec{d}(S/R)=m\overrightarrow{a_G}(S/R)\end{array}$

Calcul des moment cinétique et dynamique :

• •si le solide n'a pas de point fixe, alors on passe par le centre de masse G : 

  $\begin{array}{c}\overrightarrow{{\sigma }_G}(S/R)={[I(S)]}_G\vec{\omega }(S/R)\\ \overrightarrow{{\delta }_G}(S/R)=\frac{d^R}{\mathit{dt}}\overrightarrow{{\sigma }_G}(S/R)\end{array}$ 

  En un autre point quelconque A, on utilise la formule de transport : 

  $\overrightarrow{{\sigma }_A}(S/R)=\overrightarrow{{\sigma }_G}(S/R)+\overrightarrow{\mathit{AG}}\wedge \vec{p}(S/R)$ 
  $\overrightarrow{{\delta }_A}(S/R)=\overrightarrow{{\delta }_G}(S/R)+\overrightarrow{\mathit{AG}}\wedge \vec{d}(S/R)$ 
• •si le solide a un point fixe F, alors $\overrightarrow{V_F}(S/R)=\vec{0}$donc on a : 
  $\begin{array}{c}\overrightarrow{{\sigma }_F}(S/R)={[I(S)]}_F\vec{\omega }(S/R)\\ \overrightarrow{{\delta }_F}(S/R)=\frac{d^R}{\mathit{dt}}\overrightarrow{{\sigma }_F}(S/R)\end{array}$ 

Formule de l’énergie cinétique (point fixe, centre de masse …)

Définition :$E_C(S/R_0)=\frac{1}{2}\underset{S}{\int }\overrightarrow{V_M}{(S/R_0)}^2\mathit{dm}$

$\begin{array}{c}{E}_C(S/R)=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\sigma }_G}(S/R).\vec{\omega }(S/R)+\frac{1}{2}m[\overrightarrow{V_G}(S/R)]\mathrm{²}\\ E_C(S/R)=\frac{1}{2}\overrightarrow{{\sigma }_A}(S/R).\vec{\omega }(S/R)+\frac{1}{2}\overrightarrow{V_A}(S/R).m\overrightarrow{V_G}(S/R)\end{array}$

Chapitre 5 – Principe Fondamentale de la Dynamique (PFD) et théorème énergétique

Puissance

• •Pour une force appliqué en un point$P=\overrightarrow{\mathit{F.}}\overrightarrow{V_M}(\text{/}R)$ 
• •Pour plusieurs points chacun soumis à $\overrightarrow{F_i}$

   :

  $P=\sum _{i=1}^n\overrightarrow{F_i}.\overrightarrow{V_{\mathit{Mi}}}(\text{/}R)$ :$P=\sum _{i=1}^n\overrightarrow{F_i}.\overrightarrow{V_{\mathit{Mi}}}(\text{/}R)$ 
• •Pour un système de force répartit sur ∑ :$P={\int }_{\sum }{F}_{\mu }(M)\overrightarrow{V_M}(\sum /R)d\mu$ 
• •Pour un solide$P=\vec{F}.\overrightarrow{V_A}(S/R)+M_A.\vec{\omega }(S/R)$ 

TEC pour un solide

TEC pour un point :$\frac{d}{\mathit{dt}}{E}_C(M/R)=P_{F\to R}$

TEC pour un solide :$\frac{d}{\mathit{dt}}{E}_C(S/R)=P_{\mathit{ext}\to S}$

TEC pour un système à 2 solides (généralisable à n solides) : $\frac{d}{\mathit{dt}}{E}_C(\Sigma /R)=P_{\bar{\Sigma }\to \Sigma }+P_{S_1\to S_2}$