
\documentclass{article}
\usepackage{amsfonts}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2953}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{Created=Saturday, June 08, 2013 01:42:55}
%TCIDATA{LastRevised=Saturday, June 08, 2013 09:19:20}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}

\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


Soit $u$ une fonction d e nie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{d}$, a valeurs dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ et suffisamment r\'{e}guli\`{e}re pour que

les expressions qui suivent aient un sens.

Une equations aux d\'{e}riv\'{e}es partielles (e.d.p.) pour la fonction $u$
est une relation entre $u$,

les variables $x_{1},...,x_{d}$ et un nombre ni de d\'{e}riv\'{e}es
partielles de $u$,

\[
F\left( x_{1};\ldots ;x_{d};u;D_{1}u;\ldots
;D_{d}u;D_{1}D_{1}u;D_{1}D_{2}u;\ldots ;D^{\alpha }u;\ldots \right) =0;
\]

o\`{u} $\alpha =(\alpha _{1};\ldots ;\alpha _{d})\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
^{d}$ .

On dit que $u$ est solution de l' equation aux d\'{e}riv\'{e}es partielles
dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{d}$si, apr\`{e}s substitution de $u$ et de ses d\'{e}riv\'{e}es
partielles, $F$ s'annule pour tout $(x_{1};\ldots ;x_{d})\in \Omega $

.

L'ordre $m\in 
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ d'une equation aux d\'{e}riv\'{e}es partielles est celui de la d\'{e}ri%
\'{e}e partielle d'ordre le plus \'{e}lev\'{e}.

Un syst\`{e}me d' \'{e}quations aux d\'{e}riv\'{e}es partielles est form\'{e}
de plusieurs \'{e}quations aux d\'{e}riv\'{e}es partielles impliquant une ou
plusieurs fonctions inconnues $u_{i}$.

Une equation aux d\'{e}riv\'{e}es partielles est lin\'{e}aire si $F$ est lin%
\'{e}aire par rapport \`{a} $u$ et ses

d\'{e}riv\'{e}es partielles. Si $m$ est l'ordre de l' equation aux d\'{e}riv%
\'{e}es partielles, l' equation est de la forme 
\[
\dsum\limits_{\left\vert \alpha \right\vert \leq m}A_{\alpha }(x)D^{\alpha
}u(x)=B(x),
\]

Si $B=0$ on a une equation homog\`{e}ne et Lu = $\dsum\limits_{\left\vert
\alpha \right\vert \leq m}$ $AD^{\alpha }u$ est un op\'{e}rateur diff\'{e}%
rentiel lin\'{e}aire.

Propri\'{e}t\'{e}s :

1. si u1 et u2 sont deux solutions d'une equation aux d eriv ees partielles
lin eaire homog

ene, alors pour 1 et 2 des r eels quelconques, 1u1 + 2u2 est aussi solution ;

2. si uh est solution de l' equation lin eaire homog ene et up est solution
de l' equation

lin eaire non homog ene, alors uh + up est solution de l' equation compl ete.

\end{document}
